mardi 16 juin 2015

Loi Binomiale, Echantillonnage, Intervalle de Fluctuation.

Pour faire suite au précédent article sur la loi Binomiale, voici deux petits programmes qui pourraient intéresser les rares élèves qui utiliseraient une HP-50G en classe de premiere S ou ES ;-)


En classe de première le tirage au hasard d’un individu dans une population qui peut présenter un caractère donné avec une probabilité p est assimilable à une épreuve de Bernoulli où le succès est avoir ce caractère.
Le prélèvement d’un échantillon de taille n dans cette population s’assimile alors à un schéma de Bernoulli de paramètres n et p et la variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n et p. Un intervalle de fluctuation au seuil d'erreur de 5% ou de confiance de 95% est l'intervalle [a/n ; b/n] tel que P(a ≤ ≤ b) ≥ 0.95. Il suffit donc de chercher les deux plus petits entiers a et b tels que P(X ≤ a) ≥ 0.025 et P(X ≤ b) ≥ 0.975.

Je vous propose donc deux petits programmes: Le premier demandant tout simplement les valeurs de n puis de p. Il renvoie une variable de type liste appelée ici li qui contient les n+1 valeurs de la fonction de répartition allant de P(X ≤ 0) à P(X ≤ n) classées par ordre croissant.
Ce programme va donc créer une variable li qui sera accessible via le menu VAR.

<< 
  "Entrez n" "" INPUT OBJ⟶
  "Entrez p" "" INPUT OBJ⟶
  ⟶ n p
    << { } 'li' STO
       0 0 n FOR I p I ^ 1 p - n I - ^ n I COMB * * +
       DUP 'li' STO+ NEXT DROP
    >>
    li REVLIST 'li' STO
>>

Pour utiliser ce programme, il suffit de l'enregistrer de façon traditionnelle en entrant (juste en dessous du programme) par exemple 'nom_du_programme' puis STO et d'utiliser ensuite VAR pour y acccéder. Lancez le programme en appuyant via le soft menu (touche Fn) sur le nom du programme choisi lors de l'enregistrement. Vous remarquerez la création de la variable li qui sera accessible via le soft menu et la touche F1 (normalement dans le même répertoire ;-) ).

Le deuxième programme partira du principe que la variable liste li qui contient toutes les valeurs cumulatives existe. Ce programme ne prends aucun argument dans le stack, le stack peut être vide, seule la variable li doit exister en mémoire.


<< 1 ⟶ I
    <<
       WHILE li I GET 0.025 ≤ REPEAT 1 'I' STO+ END I 1 -
       WHILE li I GET 0.975 ≤ REPEAT 1 'I' STO+ END I 1 - 
    >>
    'li' PURGE
>>

Pour utiliser ce programme, il suffit encore de l'enregistrer avec STO et d'utiliser VAR pour y acccéder puis de le lancer en appuyant via le soft menu (touche Fn) sur le nom du programme choisi lors de l'enregistrement.

Il renvoie deux valeurs dans le stack sur les niveaux 1 et 2 qui sont donc les plus petits entiers a et b tels que définis plus haut. Il vous reste à diviser a et b par n pour obtenir l'intervalle de fluctuation au seuil d'erreur de 5% tel que défini en classe de première.
(La variable liste li est supprimée par ce deuxième programme, cela fait une variable en moi qui risque de "traîner" dans les répertoires)

N'hésitez pas à me contacter si vous avez un problème quelconque avec ces deux petits programmes.

En attendant vous pouvez les tester avec ce petit exercice (le résultat est [9/50 ; 22/50] et NON):
"La proportion de personnes ayant les yeux bleux en France est de 31%. Dans une grande ville française, au micro-climat assez particulier, sur 50 personnes rencontrées au hasard, on a recensé 10 personnes ayant les yeux bleux.
1) Déterminer l'intervalle de fluctuation du nombre de personnes ayant les yeux bleux dans cet échantillon au seuil de 95%.
2) Avec un seuil d'erreur de 5%, peut on attribuer au micro-climat spécifique à cette ville une influence sur la coloration des yeux de ses habitants ?"

A bientôt (Arithmétique nous voilà!!) ;-)

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