samedi 13 juin 2015

Fonction de Répartition de la loi Normale.

Je suppose que la calculatrice HP-50G est paramétrée dans le mode RPN et que vous êtes dans le dossier {HOME}.
Il n'y a qu'une seule et unique commande pour calculer P(X<a) fonction de densité cumulative, ou encore fonction de Répartition, pour la loi Normale: c'est la fonction UTPN accessible dans le menu MATH puis le sous-menu PROB.

MAIS attention la fonction UTPN a plusieurs particularités qui la distingue de ce qu'on peut trouver sur Casio ou TI. Premièrement elle prends pour arguments la moyenne (espérance), la variance (écart-type au carré) et la valeur a puis calcule P(X>a), c'est à dire la partie cumulative supérieure !
Voilà une première différence avec les outils Casio et TI. Nous verrons plus loin la seconde.

Par exemple pour calculer P(X>165) avec une moyenne de 160, un écart-type de 15, il faut entrer cette séquence: 160 ENTER 15 LS SQ 165 UTPN .
La valeur renvoyée sur le niveau bas du stack est 0.3694.

Si on veut calculer P(X<165), il suffit de faire 1 - P(X>165) ou bien d'entrer cette petite "routine" en mémoire << UTPN NEG 1 + >> puis de saisir les commandes suivantes pour l'enregistrer: 'LTPN' STO . La petite routine est accessible avec la touche VAR via le soft menu.

Pour l'utiliser il faut entrer cette séquence: 160 ENTER 15 LS SQ 165 LTPN .
La valeur renvoyée sur le niveau bas du stack est 0.6305.

Attention à nouveau car la fonction normalcdf (ou normalFrép) de TI selon que vous ayez un modèle anglais (ou français) utilise l'écart-type en paramètre et NON la variance, de plus la syntaxe utilisée est très différente. Cette fonction calcule en effet P(a<X<b) et il faut utiliser par exemple la valeur -oo pour la variable a pour calculer P(X<b). Veuillez vous référer aux manuels des calculatrices ou bien me contacter.

Revenons à notre mouton, en l'occurence notre brebis HP, et voyons ce petit programme tout simple qui demande en entrée les paramètres classiques, espérance (moyenne), écart-type et valeur de a puis qui calcule la probabilité p telle que P(X<a) = p. Oui pour rester cohérent j'ai choisi que l'utilisateur entre l'écart-type comme sur TI et Casio et non la variance car dans tous les sujets et exercices type Bac, c'est l'écart-type qui est donné en couple avec l'espérance.

<< 
  "Entrez μ" "" INPUT OBJ⟶
  "Entrez σ" "" INPUT OBJ⟶
  "Entrez a" "" INPUT OBJ⟶
  ⟶ μ σ a
    << 1 μ σ SQ a UTPN -
    >>
>>

Pour utiliser ce programme, il suffit de l'enregistrer de façon traditionnelle en entrant (juste en dessous du programme) par exemple 'nom_du_programme' puis STO et d'utiliser ensuite VAR pour y acccéder. Lancez le programme en appuyant via le soft menu (touche Fn) sur le nom du programme choisi lors de l'enregistrement.

Intéressons nous maintenant à la fonction Cumulative Inverse, c'est à dire on cherche connaissant la probabilité p la valeur x telle que P(X<x) = p.

Voici maintenant le programme équivalent à invNorm ou FracNormale sur TI selon le modèle.
L'utilisateur entre toujours espérance (moyenne), écart-type puis la valeur de p tels que le programme cherche la valeur de x tel que P(X<x) = p.

<< 
  "Entrez μ" "" INPUT OBJ⟶
  "Entrez σ" "" INPUT OBJ⟶
  "Entrez p" "" INPUT OBJ⟶
  ⟶ μ σ p
    <<
      << 1 μ σ SQ X UTPN - p =
      >>
    'X' μ ROOT
    >>
  'X' PURGE
>>

ROOT nécessite une valeur de supposition initiale (Guess value), ici  l'espérance (moyenne) est proposée étant donné que la valeur finale sera à quelques écarts-types "près" proche de la moyenne.
(Réf: Menu SOLVE / Fonction ROOT / Manuel Utilisateur Français 6-30.)

Pour utiliser ce programme, il suffit encore de l'enregistrer avec STO et d'utiliser VAR pour y acccéder puis de le lancer en appuyant via le soft menu (touche Fn) sur le nom du programme choisi lors de l'enregistrement.

N'hésitez pas à me contacter si vous avez un problème quelconque avec ces petits programmes qui fonctionnent parfaitement.

Le prochain article sera sur la loi Binomiale telle que présenté en classe de première S.

A bientôt !!

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