lundi 15 juin 2015

Développements de Taylor.

Finalement cet article n'est pas sur la loi de probabilité à densité Exponentielle mais sur les développements limités, les séries de Taylor et de Maclaurin.
En effet une discussion ce matin avec un élève de math sup m'a fait pencher sur le sujet des polynômes de Taylor sur la HP-50G et son calcul symbolique. Ce qui suit n'est bien entendu pas du tout un cours de mathématiques ;-)

Les fonctions qui vont nous intéresser sont TAYLR0 et SERIES.
Elles sont accessibles par le menu CALC puis le sous-menu LIMIT.

La fonction TAYLR0 ne demande aucun paramètre si ce n'est la fonction dans le niveau 1 du stack bien sûr. Cette fonction donne le développement limité de degré relatif 4 (c.à.d. la différence entre la plus grande et la plus petite puissance du polynôme est 4) en x=0, c'est à dire au voisinage de zéro.
C'est le développement de Maclaurin classique.

Faisons maintenant un petit programme qui nous donne le développement limité classique d'ordre (relatif) n au voisinage de x=xo. On effectue une approximation de la série de Taylor par un polynôme de degré n:


Voici donc une petite routine qui prends en argument les 3 paramètres suivants respectivement sur les niveaux 3, 2 et 1 du stack, la fonction f(x), la variable x=xo et le degré relatif.

<< SERIES SUBST 3 GET OBJ⟶ DROP >>

Pour utiliser ce programme, il suffit de l'enregistrer de façon traditionnelle en entrant (juste en dessous du programme) par exemple 'nom_du_programme' puis STO et d'utiliser ensuite VAR pour y acccéder. Lancez le programme en appuyant via le soft menu (touche Fn) avec le nom du programme choisi lors de l'enregistrement.

Bien entendu il y a quelques précautions à prendre comme avec tout logiciel de calcul formel. Premièrement il faut que la variable utilisée pour définir la fonction soit la même que celle utilisée pour définir le voisinage.

Voici un petit exemple de ce que vous pourriez avoir sur le stack avant de lancer le programme.

3:               LN(X)
2:                 X=1
1:                   4

Il suffit de saisir 'LN(X)' ENTER 'X=1' ENTER 4 ENTER pour obtenir le résultat ci-dessus.
Lancer alors le programme via le soft menu avec le nom choisi lors de l'enregistrement dans VAR.

Pour ceux qui cherchent un programme plus classique "prêt à l'emploi" voici maintenant le programme complet qui vous demande pas à pas les arguments.

<< 
  "Entrez la fonction f(x)" "" INPUT OBJ⟶
  "Entrez le voisinage xo " "" INPUT OBJ⟶
  "Entrez le degre relatif n" "" INPUT OBJ⟶
  ⟶ f xo n
  << f xo n SERIES SUBST 3 GET OBJ⟶ DROP
  >>
>>

Pour entrer la fonction f(x), saisissez là comme pour l'entrer dans le stack dans l'exemple précédent 'LN(X)', il en va de même pour les deux autres paramètres.

N'hésitez pas à me contacter si vous avez un problème quelconque avec ce petit programme qui est très efficace.

Liens intéressants:
Série de Taylor.


A bientôt.

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